Wie erhält man aus zwei Punkten den Funktionsterm der Parabel oder Hyperbel ?
Von der Zuordnungsvorschrift f(x) = c . xz ist der Faktor c und der Exponent z zu bestimmen.
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Ist die x-Koordinate einer der beiden gegebenen Punkte 1 so ist c direkt an der y-Koordinate abzulesen. Zum Beispiel: Gegeben sind die Punkte A( 1 | -3 ) und B(4 | -0,1875). Aus diesen beiden Punkten lassen sich zwei Gleichungen aufstellen. f(1)=c . 1z= -3 da 1z=1 ist folgt daraus c= -3 dieser Wert lässt sich in die zweite Gleichung einsetzen. f(4 )= c . 4z= -3 . 4z = -0,1875 teilt man die Gleichung durch -3 so erhält man 4z = -0,1875 / -3 logarithmiert man die Gleichung so erhält man log (4z) = log (-0,1875 / -3 ) aus dieser Gleichung folgt z. log(4)=log(-0,1875 / -3 ) teilt man durch log(4) folgt z=log(-0,1875 / -3 ) / log(4)= -2 Der Funktionsterm lautet also f(x)=-3 . x-2 |
x-Koordinaten beider Punkte sind ungleich 1. Zum Beispiel: Gegeben sind die Punkte A( -2 | 0,375 ) und B(-4 | 0,1875). f(-2)=c . (-2) z=0,375 => c = 0,375 / (-2)z c wird in die zweite Gleichung eingesetzt f(-4)=c .(-4)z =0,1875=[0,375 / (-2)z] . (-4)z die Gleichung durch 0,375 geteilt ergibt 0,1875/0,375=(-4)z / (-2)z den zweiten Potenzsatz auf die rechte Seite angewendet ergibt 0,1875/0,375 = (-4/-2)z logarithmiert man die Gleichung so erhält man log(0,1875 / 0,375) = z . log(-4/-2) teilt man durch log(-4/-2)=log(2) folgt z =log (0,1875 / 0,375) / log(2) = -1 z=-1 eingesetzt in die Gleichung c = 0,375 / (-2)z ergibt c = -0,75 Der Funktionsterm lautet also f(x) = -0,75 . x-1 |
| Liegen die Punkte in Feld 1 und Feld 2 oder Feld 3 und Feld 4, so ist die Funktion symmetrisch zur y-Achse. Das Problem in der Berechnung wegen eines negativen Arguments im Logarithmus lässt sich umgehen, indem man f(-x)=f(x) ausnutzt. | Liegen die Punkte in Feld 1 und Feld 3 oder Feld 2 und Feld 4, so ist die Funktion symmetrisch zum Ursprung. Das Problem in der Berechnung wegen eines negativen Arguments im Logarithmus lässt sich umgehen, indem man f(-x ) = -f(x) ausnutzt. |